Անընդհատ ֆունկցիա — Մարգարյան Սրբուհի

Ֆունկցիան մաթեմատիկայում, երկու բազմությունների տարրերի միջև համապատասխանության կանոն է, ըստ որի առաջինի յուրաքանչյուր տարր համապատասխանում է երկրորդ բազմության մեկ և միայն մեկ տարրին։

Ֆունկցիայի մաթեմատիկական հասկացությունն արտահայտում է ինտուիտիվ գաղափար այն մասին, թե ինչպես է մի մեծությունն ամբողջությամբ որոշում մեկ այլ մեծության արժեքը։ Այսպիսով {\displaystyle x} $x$ փոփոխականի արժեքը եզակիորեն որոշում է {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ արտահայտության արժեքը, իսկ ամսվա արժեքը որոշում է դրան հաջորդող ամսվա արժեքը։ Ֆունկցիայի «կենցաղային» օրինակ է այն, որ յուրաքանչյուր մարդու կարելի է միանշանակ համապատասխանեցնել նրա կենսաբանական հորը։

Նմանապես, կանխորոշված ալգորիթմը, հաշվի առնելով մուտքային տվյալների արժեքը, որոշում է ելքային տվյալների արժեքը։

Հաճախ «ֆունկցիա» տերմինը հասկացվում է որպես թվային ֆունկցիա, այսինքն՝ ֆունկցիա, որը մի թվին համապատասխանեցնում է մյուսին։ Այս ֆունկցիաները հարմար է ներկայացնել գրաֆիկների տեսքով։

Անընդհատ ֆունկցիա $[a,b]$ հատվածի վրա որոշված մեկ իրական փոփոխականի{\displaystyle y=f(x)} $y=f(x)$

ֆունկցիան կոչվում է անընդհատ $[a,b]$ -ի $x_{0}$ կետում, եթե $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$

սահմանը գոյություն ունի և հավասար է $f(x_{0})$ –ի, կամ, համարժեքորեն, եթե յուրաքանչյուր $\varepsilon>0$ թվի համար գոյություն ունի այնպիսի $\delta >0$ թիվ, որ<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f902c12a7f7e5be35218a7d6f5cde43e036d86" alt="{\displaystyle |x-x_{0}|

անհավասարությունից հետևում է<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c85be121472f6c05895e45cbbdcdbe0b2d4e6e" alt="{\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|,

որտեղ $x\in [a,b]$ ։

Եթե $f(x)$ –ն անընդհատ չէ $x_{0}$ կետում, ապա կոչվում է խզվող այդ կետում։

Ֆունկցիան անընդհատ է $[a,b]$ -ում, եթե այն անընդհատ է $[a,b]$ -ի յուրաքանչյուր կետում։ Համանման եղանակով սահմանվում է նաև մի քանի իրական փոփոխականների ֆունկցիաների անընդհատությունը։ Բոլոր տարրական ֆունկցիաներն անընդհատ են իրենց որոշման տիրույթներում։

Մասնավորաբար, բազմանդամը, {\display $\sin x,\cos x,a^{x}(a>0)$ և այլն ֆունկցիաներն անընդհատ են թվային առանցքի յուրաքանչյուր կետում։ Եթե $f(x)$ , $g(x)$ ֆունկցիաներն անընդհատ են $[a,b]$ -ում, ապա $f(x)\cdot g(x),f(x)+g(x),\alpha f(x)$

ֆունկցիաները, որտեղ $\alpha$ -ն իրական թիվ է, ևս անընդհատ են $[a,b]$ -ում։

Եթե բացի այդ $g(x)$ –ը զրո չի դառնում $[a,b]$ -ի ոչ մի կետում, ապա{g(x)}}} ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ -ը ևս անընդհատ է $[a,b]$ -ում։

Եթե $f(x)$ ֆունկցիան անընդհատ է $[a,b]$ -ում, ապա գոյություն ունեն $[a,b]$ –ի այնպիսի $c$ և d կետեր, որ կամայական $x\in [a,b]$ կետի համար $f(c)\leqslant f(x)\leqslant f(d)$ , ընդ որում $f(x)$ –ն ընդունում է $[f(c),f(d)]$ հատվածին պատկանող յուրաքանչյուր արժեք։ Անընդհատ ֆունկցիան կարելի է հավասարաչափ մոտարկել բազմանդամներով։

Պարզվում է, որ այդ հատկությունը բնորոշ է միայն անընդհատ ֆունկցիայի համար, և այն կարելի է դնել հատվածում անընդհատ ֆունկցիայի սահմանման հիմքում («կոնստրուկտիվ» սահմանում)։

Добавить комментарий Отменить ответ